Uma rede neural é composta por diversas camadas, sendo a primeira a camada de entrada, que insere os dados na rede. Compondo a maior parte, temos as camadas ocultas, que contém neurônios que processam os dados de acordo com seus parâmetros e enviam seus resultados para os neurônios da camada seguinte. A última camada, chamada de camada de saída, é responsável por conter os neurônios que resultam em valores condizentes ao objetivo da predição.

Durante o processo de treinamento, a rede precisa ajustar os parâmetros dos neurônios para alcançar uma série de resultados, fazendo-se necessário uma função que quantifique o erro cometido pela rede, e um método que determine como cada neurônio deve modificar seus parâmetros para que este erro diminua.

De acordo com o tipo de predição são utilizadas diferentes

Funções de Erro

, em que no caso de valores escalares, temos por exemplo a função

Mean Squared Error

(MSE), apresentada na Equação 1. Podemos interpretar esta função como uma forma de calcular o erro médio de

instâncias, onde

é o resultado esperado, e

é a saída da rede para instância

. Disto, também podemos extrair a expressão

, como o erro para uma única instância

Em

, vimos sobre o treinamento do Perceptron utilizando o método

Gradient Descent

, aplicando o cálculo do gradiente sobre a equação

. Neste caso, fizemos isto porque formulamos o treinamento como a minimização de

Assim, no treinamento é utilizado o algoritmo

Backpropagation

, que aborda o treinamento como um problema de minimização da função de erro. Disto, considerando o erro para uma instância

, precisamos definir as expressões matemáticas por trás de

, ou seja, o encadeamento de equações e funções de ativação dos neurônios, do começo ao fim da rede, que geram

. Considerando uma rede neural como na Imagem 1, a função do erro pode ser escrita como

, onde

é a expressão da rede em função dos parâmetros dos neurônios. Com isto, conseguimos aplicar o método

Gradient Descent

para minimizar esta função com o gradiente

Imagem 1. Exemplo de uma rede neural com dois neurônios G e H

Uma detalhe é que não podemos utilizar a função Sinal como função de ativação nos neurônios, como é feito no Perceptron. De acordo com o teorema da

, uma função diferenciável é contínua em todos seus pontos, concluindo-se que não é possível o cálculo da derivada da função Sinal, por ela não ser contínua em

. No gradiente

, o cálculo das derivadas parciais depende da diferenciabilidade de

Imagem 2. a) Função Sinal, b) Função Tangente e c) Função Logística

Observa-se que estas duas funções têm um formato em "S", e que a função Tangente tem seu resultado contido no intervalo [-1, 1], e a função logística no intervalo [0, 1]. Disto, temos que geralmente utiliza-se a função Tangente nos neurônios das camadas ocultas, e a função Logística na camada de saída. A função Tangente serve como uma substituição direta da função Sinal, considerando a semelhança entre os valores máximo e mínimo, -1 e 1, de ambas funções, e a função Logística é vista como útil para a camada de saída, por seu resultado poder ser interpretado como uma probabilidade.

Considerando a rede na Imagem 1, utilizando-se a função Tangente em

e a função Logística em

, as operações realizadas por ambos neurônios são exibidas nas Equações 2 e 3, respectivamente. Observa-se que o resultado da função de ativação de

é utilizado como entrada pelo neurônio

Disto, retomando-se a função do erro

, dado que

representa a expressão da rede para

, que corresponde ao resultado da função de ativação do neurônio

,

, podemos substituir

por

, tendo-se

. Observa-se que a partir de

, temos uma

, denotada na Equação 4, onde

está em função de

,

em função de

,

em função de

, e

em função de

Para o cálculo de derivadas parciais de funções compostas, temos a

apresentada na Equação 5. Nela, a derivada parcial de uma função

em relação a

, onde

está em função de

, pode ser escrita como o produto das derivadas

e

Considerando os parâmetros dos neurônios

e

Tendo em vista a função composta

, para as derivadas parciais do neurônio

,

e

, aplicamos a regra da cadeia até a função

. Já para as derivadas de

,

,

e

, continuamos através de

, até alcançarmos a função

. Percebe-se que a diferença entre as derivadas parciais dos parâmetros de um neurônio é o último termo, em que fazemos a derivada do produto escalar em relação a um dos parâmetros, e que quanto mais profundo o neurônio está da última camada até a primeira, as derivadas levam em conta termos que na prática já terão sido calculados pelos neurônios anteriores, acrescentando apenas o cálculo das suas derivadas específicas, como

e

em

No Quadro 3, resolvemos os termos que compõem as derivadas parciais.

Para resolução das derivadas das funções

e

, a não ser pela variável em questão, consideramos as outras como constantes, tendo como resultado o termo que é multiplicado pela variável alvo. No caso das derivadas das funções de ativação

e

, temos a propriedade de que podemos escrevê-las em função das próprias funções

e

, não sendo necessário desenvolvermos as derivadas a partir das suas equações mostradas na Imagem 2. Por fim, para resolvermos a derivada

, primeiro dividimos a equação do erro por 2 com o intuito de simplificar a expressão final, o que não terá um efeito significativo no processo de ajuste dos parâmetros. Após isto, resolvemos a derivada aplicando a regra da multiplicação por uma constante e a regra da cadeia em

, onde identificamos uma função composta

, tendo-se

e

, cujo desenvolvimento segue como

Com isto, no Quadro 4 temos os resultados das derivadas parciais dos neurônios

e

Conexões com mais de um neurônio

Uma rede neural geralmente terá mais de um neurônio por camada, ocorrendo conexões em que um neurônio envia seu resultado para

neurônios, e conexões onde

neurônios enviam seus resultados para um. Na Imagem 3 ilustra-se uma rede com um neurônio

que envia seu resultado para os neurônios

e

, e um neurônio

Imagem 3. Exemplo de uma rede com conexões com mais de um neurônio

Para o cálculo do gradiente da função de erro desta rede, consideramos a função composta na Equação 6. Disto, no Quadro 5 temos as fórmulas das derivadas parciais de

e

, que se diferenciam na derivada

, onde cada um utiliza a sua função de ativação. Encontra-se as expressões de

,

e

Assumindo a função Logística

para

, e a Tangente

para

e

, apresenta-se no Quadro 6 as derivadas parciais destes dois neurônios em relação à função de erro

Para o cálculo das derivadas parciais do neurônio

, devemos aplicar a

, definida na Equação 8. Isto, pelo fato de

ser uma função multivariável de

e

, que recebem como entrada o resultado das funções

e

, respectivamente, no qual ambas possuem como parâmetro a função

que depende de

, onde temos os parâmetros do neurônio. Destaca-se estas relações no seguinte trecho da função composta

Aplicando-se a regra, no Quadro 7 e 8 temos as fórmulas e as derivadas parciais de

Conclusão

Neste artigo vimos sobre o algoritmo

Backpropagation

, onde aplicamos o método

Gradient Descent

para minimizar a função de erro. Nisto, resolvemos as derivadas parciais dos parâmetros da rede através da aplicação da Regra da Cadeia sobre a função composta do erro, em que levamos em consideração as operações de todos neurônios. Disto, resta a apresentação formal do algoritmo, em que o dividimos em duas etapas chamadas de

forward pass

e

backward pass

, e uma implementação prática. Então, como continuação teremos a visão do algoritmo

Backpropagation

Referências

• Ekman, M. Learning Deep Learning. Pearson Education, 2021.

• Derivada. Wikipedia, 2026. Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada#Diferenciabilidade.

• Composição de funções. Wikipedia, 2026. Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Composi%C3%A7%C3%A3o_de_fun%C3%A7%C3%B5es.

• Regra da cadeia. Wikipedia, 2026. Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_da_cadeia.

• Chain Rule. Paul's Online Notes, 2026. Disponível em: https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calciii/chainrule.aspx.